Retour à la théorie : Construction d'un modèle simplifié

Écrit par E.THIBAULT le . Publié dans Peut-on mesurer l'épaisseur d'un plafond en tuffeau grâce à l'absorption des muons ?

Comme nous l'avons conclu dans nos précédentes expériences, suivre la diminution du nombre de muons avec la profondeur de roche n'est pas lié à une simple décroissance radioactive ou diminution énergétique, mais est également liée au caractère relativiste des muons qui évolue étant donné que leur énergie diminue. La relation que nous avions établi était alors trop simple, et il nous a fallu chercher autre chose. Nous avons alors pris contact avec plusieurs scientifiques, en espérant qu'ils puissent nous donner de nouvelles pistes.

À l'aide de Loic Villain de l'UFR de Sciences et Technique de Tours, nous avons essayé de construire un modèle simplifié de l'évolution du flux de muons au cours du temps et en fonction de la profondeur de roche traversée.

Premières hypothèses :
- On considère un faisceau monoénergétique de muons
- Tous sont supposés avoir la même vitesse v orthogonale au détecteur.

Ainsi le flux de particules est proportionnel à la densité de particules (en muons/m3) et à leur vitesse : Φ(x) =  ρ(x).v(x)

Au sol, avant de pénétrer dans la roche, on a alors :  Φ0 = ρ(0).v(0

Le muon est une particule radioactive, c'est-à-dire qu'il se désintègre en suivant une loi de décroissance radioactive de la forme : N(t) = N0.e-t/τ

avec τ son temps caractéristique, temps propre ou encore constante de temps (c'est-à-dire le temps nécessaire pour que 63% des muons d'un échantillon se désintègrent), et le nombre de muons.

La densité de particules va subir la même loi de décroissance radioactive : ρ(t) = ρ0.e-t/τ

Mais le temps proprevarie avec le temps ou la profondeur (ces deux derniers facteurs étant liés car le muon perd de l'énergie).

Ainsi on aura τ(t) = γ τ0    ou  τ(x) = γ (x) . τ0

Avec

- τ(x) =: temps caractéristique ou constante de temps dans le référentiel terrestre ; 

- τ0 = constante de temps du muons dans son propre référentiel ; 

- γ (x) = facteur de Lorentz qui varie avec la profondeur. 

 

On a alors, en rajoutant le fait que le tempset la profondeursont liés :   ρ(x) = ρ0.e-t(x)/ (γ(x).τ0)

On va donc chercher à exprimer γ , dont on sait qu'il dépend de l'énergie du muon.

On suppose que l'énergie des muons décroît linéairement avec la distance parcourue, comme M. Nicolas ARNAUD nous l'avait indiqué.

Pour rappel :  dE/dx = -2.ρ

avec

- dE/dx : perte d'énergie par unité de longueur en MeV/cm ; 

- ρ : masse volumique en g.cm-3.

Si on considère que le tuffeau a une masse volumique de 2,5g.cm-3, il vient  dE/dx = -5,0 MeV.cm-1 = -500 MeV.m-1 = -0,5 GeV.m-1.

 

Ainsi , E(x) = E0 -0,5x

et comme E=γmc² , on a γ=E/ mc²  (avec E en Joules),

 

Ainsi, nous avons commencé par utiliser cette résolution numérique avec γ=37,8 , ce qui correspond à un muon d'une énergie de 4,0 GeV.

Figure 21 : Graphique du pourcentage d'absorption en fonction de la profondeur pour γ=37,8



Le graphique obtenu n'est pas cohérent avec nos mesures. En effet, à Nouzilly, pour un plafond d'une profondeur d'environ 2m, nous avions obtenu un pourcentage d'absorption de 36,5%, alors que d'après ce modèle, le pourcentage d'absorption pour deux mètres d'épaisseur traversée devrait être quasiment nul.

 

À titre de comparaison, nous avons également réalisé le graphique en considérant un flux de muons avec γ=9 , soit une énergie d'environ 1GeV. Voici le résultat :

Figure 22 : Graphique du pourcentage d'absorption en fonction de la profondeur pour γ=9


On voit que les muons ayant une énergie de 1GeV ont statistiquement disparu pour une épaisseur de 2m. Cela ne convient pas non plus avec les valeurs réelles.

 

Ce modèle n'est donc pas valable. Cela peut se comprendre, en effet le modèle possède une limite majeure : il considère les muons comme ayant tous la même énergie. Nous avons d'abord pris une énergie de 4,0GeV car d'après nos informations, il s'agissait de l'énergie moyenne des muons, mais on constate bien que cette moyenne ne suffit pas à représenter l'ensemble du flux ; une énergie de 1,0GeV ne convient pas non plus.

En outre, pour un point donné, l'ensemble des muons n'ont pas traversé exactement la même épaisseur de roche, puisque même si la majorité des muons arrivent verticalement, il y en a toujours qui arrivent de directions différentes. 

 

Conclusion

Tout au long de notre projet, nous avons essayé de répondre à notre problématique qui était « Peut-on déterminer l'épaisseur d'une roche grâce à l'absorption des muons ? ». Nous avons tout d'abord testé les différents paramètres pouvant influer sur nos mesures puis nous avons essayé de trouver une relation entre l'épaisseur de roche traversée et le pourcentage d'absorption des muons.

À l'aide de mesures d'étalonnage sur des épaisseurs de roche faibles, nous en avons trouvé une, modélisée sous la forme de l'équation suivante :

 

Mais, après avoir pensé que cette équation n'était pas valable sur des épaisseurs de plus de 8m à cause de la perte du caractère relativiste du muon, nous avons constaté qu'en pratique, elle ne fonctionnait pas non plus sur des épaisseurs plus faibles, de l'ordre de 1m50.

C'est pourquoi nous créé un modèle mathématique simplifié de l'évolution du flux de muons avec la profondeur. Mais celui-ci, ne correspondant pas à nos observations réelles, n'est pas représentatif de la réalité, notamment car il ne prend pas en compte le fait que les muons arrivent à la surface de la Terre avec des énergies très différentes.

Nous allons donc devoir affiner ce modèle, notamment via l'établissement d'un spectre d'énergie des muons au niveau du sol et par l'application au modèle.

De plus nous allons devoir continuer à réaliser des expériences dans des caves et des carrières pour établir une nouvelle courbe d'étalonnage plus précise et comprenant des épaisseurs bien plus importantes.