Etude mécanique du vol

Etude mécanique du ballon ou comment vole un ballon ?

Nous avons donc dû construire un ballon qui respecte toutes ces contraintes. Nous avons vu aussi que le ballon ne devait pas faire plus de 60 m³ sur le site de Laurent Besset, amateur de ballon solaire.

a) Caractéristiques des composants de la chaîne de vol

 

Le ballon : Pour des raisons pratiques et pour un gain de temps, nous avons opté pour un tétraèdre qui ne nécessite qu’une seule découpe.

Si nous notons, a, l’arête du tétraèdre régulier, son volume est donné par la relation suivante :  .

Dans notre cas, compte tenu du film plastique à notre disposition, nous avons accolé deux bandes et demi de polyéthylène de largeur 2.5 m chacune, soit une largeur totale de 6.25 m correspondant  à une arête de 7.22m, soit un volume d’environ V = 44 m³. Ce volume permet de respecter la législation concernant les objets volants légers, le ballon ayant un volume inférieur à 60 m³ et sa masse n’excédant pas 2 kg puisqu’il pèse seulement 1,2 kg, ruban adhésif et cordage compris.

La nacelle est un cube de 20 cm d’arête et est fabriquée avec du polystyrène extrudé d’une épaisseur de 2 cm. Nous avons opté pour ce matériau pour sa faible densité, son caractère isolant et sa bonne résistance mécanique.

Matériel compris (caméra, émetteur radio, système GPS/APRS, dispositif de retournement et batteries), elle a une masse de 1,5 kg maximum. Ainsi la masse surfacique vaut m/S = m/a² = 1500/400 = 3.75 g.cm^-² ce qui est nettement en dessous de la législation dont la limite est de13 g.cm^-2.

S’ajoute à la chaîne de vol un parachute de 50 g,  un réflecteur radar de masse 150 g.

Notre système d’étude  sera  l’ensemble constitué par la chaîne de vol ayant une masse totale de 2,9 kg nettement inférieure à 4,0 kg comme l’exige la loi, sans oublier l’air intérieur.

Nous étudierons le mouvement de l'ensemble dans le référentiel terrestre.

 

b) Bilan des forces

Dans cette expérience, nous étudions la chaîne de vol constituée du ballon, des cordages et de la nacelle dans le référentiel terrestre. L’ensemble est soumis aux forces extérieures suivantes  :

- Le poids :

le poids de l’ensemble peut se diviser en trois : poids de l’enveloppe (ficelle, ruban adhésif et cordage), poids de l’air intérieur et poids de la charge accrochée. On peut donc écrire :        P = P_charge + P_{air int} + P_ballon = (m _charge + m _{air int} + m _ballon) x g.

- : Poids en Newton (N).

- m _charge : masse de la charge en kg ;  m _{air int} : masse de l’air intérieur en kg ; m _ballon : masse du ballon en kg.

- g : intensité de la pesanteur en N.kg^-1. (g est environ égal à 9.81 N.kg^-1 au sol  à Tours).

Pour le calcul du poids de l’air intérieur, nous aurons besoin de la masse volumique r de l’air intérieur et du volume V du ballon. En effet, ρ = m/V donc m = rV.

- La poussée d’Archimède  :

D’après le principe d’Archimède, tout corps plongé dans un fluide (gaz ou liquide) subit une force de la part de ce dernier, verticale vers le haut et qui est égale au poids du volume de fluide déplacé. Le fluide  en question est l’air extérieur.  Ainsi la norme est  Pa = m_{air ext} g = r_{air ext} V  g.     avec  P_a : poussée d’Archimède en Newton (N) ; g : intensité de la pesanteur en N.kg^-1 ; V : volume du ballon en m³.

Ainsi pour évaluer ces deux forces, nous avons besoin d’exprimer le volume du ballon, la masse volumique de l’air intérieur et celle de l’air extérieur.

- La traînée ou force de frottement  qui est colinéaire au mouvement donc qui peut être décomposée en une composante verticale  et une horizontale.

La force due au vent que l'on suppose selon l'horizontale  uniquement au-delà de 3000m d’après nos discussions avec les techniciens de Météo France Tours.

- Ascension de la chaîne de vol : Une fois que la chaîne de vol s'élève, elle subit également une force de frottement de la forme f = kv², autrement dit proportionnelle au carré de la vitesse et dépendant de la forme du ballon et de la masse volumique de l'air extérieur à travers la constante k.  Nous n'avons pas poussé cette étude plus loin par manque de connaissance sur cette force de frottement.

- Pour le mouvement horizontal : la chaîne de vol est entraînée  à la même vitesse que la masse d’air dans laquelle elle se trouve comme nous avons pu le constater précédemment.

c)  Masse volumique de l'air

On suppose que l’air est un gaz parfait, ce qui signifie que l’on néglige les interactions entre les molécules, parce qu’elles sont suffisamment éloignées les  unes des autres.

D'après la loi des gaz parfaits : pV = nRT.   Sachant que :   et  alors,

Ainsi nous  obtenons : 

p : la pression atmosphérique en Pascal (Pa) ; M : la masse molaire de l'air extérieur en kg.mol^-1.

R : la constante des gaz parfaits en Pa.m³.mol^-1.K^-1 (R= 8.314 USI). ; T : la température de l'air en Kelvin (K).

ρ : la masse volumique de l'air en kg.m^-3.

A partir de cette formule, nous pouvons obtenir la masse volumique de l’air connaissant sa température, sa pression et sa masse molaire.

Exemple :  p = 1,013.10⁵ Pa ;  R = 8,314 Pa.m³.mol^-1.K^-1 ; T (en K) = θ (en°C) + 273,15 ;

M_air = (80/100) x M_N2 + (20/100) x M_O2 (on suppose que l’air est simplement composé de 80% de diazote N₂ et 20% de diioxygène O₂) :   M_air = 0,80 x 28,8 + 0,20 x 32 = 28,8 g.mol^-1 = 28,8.10^-3 kg.mol^-1.

A une température de 30°C : ρ = 1,013.10⁵ x 28,8.10^-3 /(8,314 x 303) = 1,16kg.m^-3 ;   à  0°C : ρ = 1,29kg.m^-3.