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Quelle masse théorique un ballon peut-il soulever ?
Il est nécessaire de définir quelques
termes avant de se lancer dans une étude mécanique de notre ballon.
On appellera :
Charge totale :
masse du ballon, de l’air et de la nacelle.
Charge utile
: la masse que peut soulever le ballon (en excluant la masse de l’air
intérieur).
Nous étudierons l’équilibre de notre
ballon dans le référentiel terrestre supposé Galiléen. Notre système d’étude
S sera donc l’ensemble constitué par le ballon (polyéthylène, ruban adhésif,
cordage), l’air intérieur et la nacelle accrochée.
Lorsque le système S est en
équilibre dans ce référentiel, il est, d’après la première loi de Newton,
soumis à des forces qui se compensent.
Rappel sur le principe d’inertie ou
première loi de Newton : dans un référentiel
Galiléen, tout corps persévère son état de repos ou de mouvement rectiligne
uniforme s’il est soumis à des forces qui se compensent.
Ainsi, dans un premier temps, nous
devons faire un inventaire des forces qui s’exercent sur le ballon à
l’équilibre, évaluer les paramètres dont dépendent ces forces, puis
appliquer le principe d’inertie pour en déduire la masse que peut soulever
notre ballon.
1) Bilan
des forces extérieures s’exerçant sur le ballon
Dans cette expérience, nous distinguerons deux forces exercées sur le
système :
Le poids  : le poids du ballon peut se diviser en trois : poids de
l’enveloppe (ficelle, ruban adhésif et cordage), poids de l’air intérieur et
poids de la charge utile (nacelle + masses). On peut donc écrire la norme :
P = Pcharge + Pair int + Pballon = (m
charge + m air int + m ballon) x g.
-
: Poids en Newton (N).
- m charge : masse de la charge en kg.
- m air int : masse de l’air intérieure en kg.
- m ballon : masse du ballon en kg.
- g : intensité de la pesanteur en N.kg-1. (g est environ égal à
9.81 N.kg-1 au sol à Tours).
Pour le calcul du poids de l’air
intérieur, nous aurons besoin de la masse volumique µ de l’air intérieur et
du volume V du ballon. En effet, µ = m/V donc m = µV.
- la poussée d’Archimède  : d’après le principe d’Archimède, tout corps
plongé dans un fluide (gaz ou liquide) subit une force de la part de ce
dernier, verticale vers le haut et qui est égale au poids du volume de
fluide déplacé. Le fluide en question est l’air extérieur.
Ainsi la norme est Pa = mair ext g = µair ext V g.
- : poussée d’Archimède en Newton (N).
- g : intensité de la pesanteur en N.kg-1.
- V : volume du ballon en m3.
Ainsi pour évaluer toutes ces forces, nous aurons besoin d’exprimer le
volume du ballon, la masse volumique de l’air intérieur et celle de l’air
extérieur.
2)
Paramètres influençant les forces s’exerçant sur le ballon
a) Volume du ballon
Pour des raisons pratiques et pour un gain de temps, nous avons opté pour un
tétraèdre qui ne nécessite qu’une seule découpe.
Essai du 24/12/07 à Vouvray
Si on appelle a, l’arrête du tétraèdre, son volume est donné par la relation
suivante :
Dans notre cas, compte tenu du film plastique à notre disposition, notre
arrête est de 5,77m, soit un volume V = 22,7m3.
b) Masse volumique de l'air
On suppose que l’air est un gaz parfait, ce qui signifie que l’on néglige
les interactions entre les molécules, parce qu’elles sont suffisamment
éloignées les unes des autres.
D'après la loi des gaz parfaits : pV = nRT.
Sachant que :
 et
 alors
 .
Ainsi on obtient :
- p : la pression atmosphérique en Pascal (Pa).
- M : la masse molaire de l'air extérieur en kg.mol-1.
- R : la constante des gaz parfaits en Pa.m3.mol-1.K-1
(R= 8,314 USI).
- T : la température de l'air en kelvin (K).
- µ : la masse volumique de l'air en kg.m-3.
A partir de cette formule, nous pouvons avoir la masse volumique de l’air,
en fonction de la température, de la pression et de la masse molaire de
l’air.
Exemple :
- p = 1,013.105 Pa.
- Mair = (80/100) x MN2 + (20/100) x MO2 (on suppose
que l’air est simplement composé de 80% de N2 et 20% de O2).
Mair = 0,80 x 28,0 + 0,20 x 32,0 = 28,8 g.mol-1 =
28,8.10-3 kg.mol-1.
- R = 8,314 Pa.m3.mol-1.K-1.
- T (en K) = θ (en°C) + 273,15.
A une température de 30°C : µ = 1,013.105 x 28,8.10-3
/(8,314 x 298) = 1,16kg.m-3
A une température de 0°C : µ = 1,29kg.m-3.
3) Masse qu’un ballon donné peut soulever
D’après le principe d’inertie, pour que le ballon soit en équilibre, il faut
que la poussée d’Archimède compense exactement le poids. Dans notre cas nous
allons faire varier la masse de la charge afin d’obtenir des forces qui se
compensent (+
=
 ), ainsi, le ballon restera en suspension dans l’air.
Le poids doit donc avoir la même intensité que la poussée d’Archimède.
Soit :
Pa = P soit,
µair ext g V = Pcharge + Pair int + Pballon.
µair ext g V = (m charge + m air int + m
ballon) x g
µair ext V = m charge + m air int + m
ballon
Donc, la masse soulevée est égale à :
mcharge + mballon = µair ext V - mair
int = µair ext V - µair int V
mcharge + mballon = (µair ext - µair
int) x V
Exemple : Masse soulevée par le ballon pour une température intérieure de
30°, une température extérieure de 0° et un volume du tétraèdre de 22,7 m3 :
A 0°: µair ext = pM/RT = 1,013.105x28,8.10-3/
(8.314x273) = 1,285 kg.m-3
A 30° : µair int = pM/RT = 1,013.105*28,9.10-3/(8.314x303)
= 1,158 kg.m-3
D’où mcharge + mballon = 1,285x22.7- 1,16x22.7 = 2,88
kg.
Le ballon peut donc soulever, dans ces conditions, 2,88kg. Sachant que la
masse du tétraèdre est de 1,23kg, celui ci peut donc soulever une charge de
1,65kg.
Nous avons construit un tableur qui nous à permis, connaissant les
températures extérieures et intérieures de notre ballon, d’en déduire la
masse qu’il pouvait soulever.
Tableur tétraèdre
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