Phaéton :  le ballon solaire du Lycée Vaucanson

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La mécanique du vol

Caractéristiques des composants de la chaîne de vol :

- Le ballon  : nous avons opté pour un tétraèdre de 76 m³ soit 8.4 m d'arrête en utilisant trois bandes de polyéthylène accolées de 2,5 m de large chacune. Le ballon a une masse de 2,0 kg ruban adhésif et cordage compris. En effet, pour espérer soulever une charge de 2,0 kg en plus de sa propre masse, avec un gradient de température de 15°C, ce volume semblait être un minimum (charge de 2,2 kg, d'après notre t,ableur).

- Le parachute de 50 g ;

- Réflecteur radar de masse 150 g ;

- La nacelle  : cube de 30 cm d'arête et de masse m = 1,800 kg ;

Notre système d’étude  sera  l’ensemble constitué par la chaîne de vol ayant une masse totale de 4,0 kg sans oublier l’air intérieur.  . Nous étudierons le mouvement de l'ensemble dans le référentiel terrestre supposé Galiléen.

Bilan des forces extérieures s'exerçant sur le système S :

- Poids de l'ensemble :

- Poussée d'Archimède :

- La traînée ou force de frottements qui est colinéaire au mouvement donc qui peut être décomposée en une composante verticale et une horizontale .

- La force due au vent que l'on suppose selon l'horizontale uniquement.

Conditions de décollage :

Pour que notre ballon puisse s'envoler, il faut que la poussée d'Archimède dirigée vers le haut soit supérieure au poids dirigée vers le bas. Il n'y a pas de frottements lors du décollage puisqu'il n'y a pas encore de mouvement. Donc, notre tétraèdre pourra s'élever si : Pa  >  P. Voici un petit calcul qui nous permet de connaître l'écart de masse volumique minimum qu'il faut pour que notre ballon s'élève :

Pa > P soit,
µ_{air ext} g V > P_charge + P_{air int} + P_ballon
µ_{air ext} g V > (m _charge + m _{air int} + m _ballon) x g
µ_{air ext} V > m _charge + m _{air int} + m _ballon

µ_{air ext} V  >  m _charge + µ_{air int} V  + m _ballon

µ_{air ext} - µ_{air int}  >  (m _charge +  m _ballon)/V

Ainsi pour notre chaîne de vol, on obtient :     µ_{air ext} - µ_{air int}  >  4,0/76 = 0,053 kg.m^-3 = 53 g.m^-3.

Ainsi pour un écart de masse volumique supérieur  à 53 g.cm^-3 , notre chaîne de vol est sensée s'élever.

Ascension de la chaîne de vol

Une fois que la chaîne de vol s'élève, elle subit également une force de frottement de la forme f = kv², autrement dit proportionnelle au carré de la vitesse et dépendant de la forme du ballon et de la masse volumique de l'air extérieure à travers la constante k.

Nous n'avons pas poussé cette étude plus loin, peut être un nouvel objectif en terminale...